Bài 34 trang 121 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

a)Cho phương trình

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Cho phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0\)

Xác định m để nó là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có a = -2m, b = 2, c = m, \(d = {m^2} + 4m.\)

Phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi

\(\eqalign{  & {a^2} + {b^2} + {c^2} - d \cr&= {( - 2m)^2} + {2^2} + {m^2} - {m^2} - 4m > 0  \cr  &  \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} + 3 > 0\;\forall m. \cr} \)

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi m. Bán kính mặt cầu là :

\(R = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + 3}  \ge \sqrt 3  \Rightarrow {R_{\min }} = \sqrt 3 \) khi \(m = {1 \over 2}.\)

LG b

Cho phương trình:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x\cos \alpha  - 2y\sin \alpha  - 4z \)

\(- (4 + {\sin ^2}\alpha ) = 0\)

Xác định \(\alpha \) để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm \(\alpha \) để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất, lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có :\(a = \cos \alpha ,b =  - \sin \alpha ,c =  - 2,d =  - (4 + {\sin ^2}\alpha )\)

\(\eqalign{  &  {a^2} + {b^2} + {c^2} - d \cr&= {\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  + 4 + 4 + {\sin ^2}\alpha   \cr  &  = 9 + {\sin ^2}\alpha  > 0\;\forall \alpha . \cr} \)

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi \(\alpha \).

Khi đó \(R = \sqrt {9 + {{\sin }^2}\alpha } \)

Vì \(0 \le {\sin ^2}\alpha  \le 1\) nên \(3 \le R \le \sqrt {10} \)

Vậy \({R_{\min }} = 3\) khi \(\alpha  = k\pi ,(k \in \mathbb Z).\)

       \({R_{\max }} = \sqrt {10} \) khi \(\alpha  = {\pi  \over 2} + l\pi (l \in \mathbb Z).\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close