Bài 32 trang 121 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho sáu điểm

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho sáu điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), A’(a’;0;0), B’(0;b’;0), C’(0;0;c’) với aa’ = bb’ = cc’\( \ne 0\) ;\(a \ne a',b \ne b',c \ne c'.\)

LG a

Chứng minh có một mặt cầu đi qua sáu điểm nói trên.

Lời giải chi tiết:

Trước hết ta xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểm A, A’, B, C. Gọi I(x;y;z) là tâm của mặt cầu đó, ta có \(IA{^2} =IA{'^2} = I{B^2} = I{C^2}\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow \left\{ \matrix{  {(x - a)^2} + {y^2} + {z^2} = {(x - a')^2} + {y^2} + {z^2} \hfill \cr  {(x - a)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {(y - b)^2} + {z^2} \hfill \cr  {(x - a)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {(z - c)^2} \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow \left\{ \matrix{   - 2ax + {a^2} =  - 2a'x + a{'^2} \hfill \cr   - 2ax + {a^2} =  - 2by + {b^2} \hfill \cr   - 2ax + {a^2} =  - 2cz + {c^2} \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \cr} \)

\( \Rightarrow x = {{a + a'} \over 2} \Rightarrow y = {{{b^2} + aa'} \over {2b}}\) và \(z = {{{c^2} + aa'} \over {2c}}\)

Vậy \(I = \left( {{{a + a'} \over 2};{{{b^2} + aa'} \over {2b}};{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)\)

Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có :

\(\eqalign{  & {R^2} = I{B^2} \cr&= {\left( {{{a + a'} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{aa' - {b^2}} \over {2b}}} \right)^2} + {\left( {{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)^2}.  \cr  &  \cr} \)

Mặt khác :

\( I{{B\,'}^2} = {\left( {{{a + a'} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{{b^2}{\rm{ + aa}}'} \over {2b}} - b'} \right)^2} + {\left( {{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)^2}  \)

\( = {\left( {{{a + a'} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{{b^2} - aa'} \over {2b}}} \right)^2} + {\left( {{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right)^2}  \)  (vì aa’ = bb’)

\( = IB^2 = {R^2}\) 

Tương tự \(IC\,'{^2} = I{C^2} = {R^2}.\)

Vậy B’, C’ cũng thuộc mặt cầu nói trên.

LG b

Chứng minh đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và trọng tâm tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng (A’B’C’).

Lời giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm \(\Delta ABC\), ta có \(\overrightarrow {OG}  = \left( {{a \over 3};{b \over 3};{c \over 3}} \right)\)

Để chứng minh OG vuông góc với mp(A’B’C’), ta chỉ cần chứng minh

\(\left\{ \matrix{  \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'B'}  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'C'}  = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Vì \(\overrightarrow {A'B'}  = ( - a';b';0),\overrightarrow {A'C'}  = ( - a';0;c')\)

Nên \( \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'B'}  =  - {{aa'} \over 3} + {{bb'} \over 3} + 0 = 0   \)

\(\overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'C'}  =  - {{aa'} \over 3} + 0 + {{cc'} \over 3} = 0\) (đpcm).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close