Bài 2. 2 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{x^2}{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 0 \hfill \cr
{x^2} - 1,\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.\)

a)      Vẽ đồ thị của hàm số \(f\left( x \right)\). Từ đó dự đoán về giới hạn của \(f\left( x \right)\) khi \(x \to 0\)

b)      Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên.

Giải:

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{x^2}{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 0 \hfill \cr 
{x^2} - 1,\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.\) 

a)      (H.6) Dự đoán : Hàm số \(f\left( x \right)\) không có giới hạn khi \(x \to 0\)

b)      Lấy hai dãy số có số hạng tổng quát là \({a_n} = {1 \over n}\) và \({b_n} =  - {1 \over n}\)

Ta có, \({a_n} \to 0\) và \({b_n} \to 0\) khi \(n \to  + \infty \)       (1)

Vì \({1 \over n} > 0\) nên \(f\left( {{a_n}} \right) = {1 \over {{n^2}}}\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{a_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {1 \over {{n^2}}} = 0\)           (2)

Vì \( - {1 \over n} < 0\) nên \(f\left( {{b_n}} \right) = {1 \over {{n^2}}} - 1\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{1 \over {{n^2}}} - 1} \right) =  - 1\)       (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(f\left( x \right)\) không có giới hạn khi \(x \to 0\)