Bài 13 trang 52 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Dân số $P$ (tính theo nghìn người) của một thành phố nhỏ được cho bởi công thức $P\left( t \right) = \frac{{500t}}{{{t^2} + 9}}$, trong đó $t$ là thời gian được tính bằng năm. Tìm tốc độ tăng dân số tại thời điểm $t = 12$.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l}P'\left( t \right) = \frac{{{{\left( {500t} \right)}^\prime }\left( {{t^2} + 9} \right) - \left( {500t} \right){{\left( {{t^2} + 9} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}}\\ = \frac{{500\left( {{t^2} + 9} \right) - \left( {500t} \right).2t}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}}\\ = \frac{{500{t^2} + 4500 - 1000{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} = \frac{{4500 - 500{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}}\end{array}$

Tốc độ tăng dân số tại thời điểm $t = 12$ là: $P'\left( {12} \right) = \frac{{4500 - 500{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} \approx  - 2,88$.