Bài 10 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) Quảng cáo
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\). Gọi hai tiêu điểm của (E) lần lượt là \({F_1},{F_2}\) và M thuộc (E) sao cho \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^ \circ }\) . Tìm tọa độ điểm M và tính diện tích tam giác \(M{F_1}{F_2}\) Gợi ý làm bài (Xem hình 3.33) Elip (E) có phương trình chính tắc: \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1.\) Ta có : a = 5, b = 3. Suy ra \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16.\) Vậy c = 4. Xét điểm M(x;y) thuộc elip, ta có: \(\left\{ \matrix{ Áp dụng định lí côsin trong tam giác \({F_1}M{F_2}\) ta có: \({F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_1}.M{F_2}\cos {60^ \circ }\) \( \Leftrightarrow 4{c^2} = {\left( {5 + {4 \over 5}x} \right)^2} + {\left( {5 - {4 \over 5}x} \right)^2} - 2\left( {25 - {{16} \over {25}}{x^2}} \right).{1 \over 2}\) \(\Leftrightarrow 64 = 25 + {{48} \over {25}}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = {{25} \over {16}}.13 \Leftrightarrow x = \pm {5 \over 4}\sqrt {13} \,\,(1)\) Ta lại có: \(M \in \left( E \right) \Rightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\,\,\,\,\,(2)\) Thay (1) vào phương trình (2) ta được: \({{{y^2}} \over 9} = 1 - {{13} \over {16}} \Leftrightarrow {y^2} = {9 \over {16}}.3 \Leftrightarrow y = \pm {3 \over 4}\sqrt 3 .\) Vậy có bốn điểm M thỏa mãn đề bài. Chúng có tọa độ là \(\left( { \pm {5 \over 4}\sqrt {13} ; \pm {3 \over 4}\sqrt 3 } \right).\) Sachbaitap.net Quảng cáo
|