Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Kết nối tri thức

1. Phương trình mặt cầu

Quảng cáo

1. Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình

\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)

Nhận xét: Với a, b, c là các hằng số, phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có thể viết lại thành \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Khi đó, (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn

Ví dụ: Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là \({\alpha ^ \circ }N,{\beta ^ \circ }E(0 < \alpha ,\beta  < 90)\) thì có tọa độ \(M(\cos {\alpha ^ \circ }\cos {\beta ^ \circ };\cos {\alpha ^ \circ }\sin {\beta ^ \circ };\sin {\alpha ^ \circ })\). Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí P: \({10^ \circ }N,{15^ \circ }E\) đến vị trí Q: \({80^ \circ }N,{70^ \circ }E\).

Giải:

Ta có: \(P(\cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ };\cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ };\sin {10^ \circ })\), \(Q(\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ };\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ };\sin {80^ \circ })\).

Suy ra: \(\overrightarrow {OP}  = (\cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ };\cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ };\sin {10^ \circ })\), \(\overrightarrow {OQ}  = (\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ };\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ };\sin {80^ \circ })\).

Do đó,

\(\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ}  = \cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ }\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ } + \cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ }\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ } + \sin {10^ \circ }\sin {80^ \circ } \approx 0,2691\).

Vì P, Q thuộc mặt đất nên \(\left| {\overrightarrow {OP} } \right| = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right| = 1\).

Do đó \(\cos \widehat {POQ} = \frac{{\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ} }}{{\left| {\overrightarrow {OP} } \right|.\left| {\overrightarrow {OQ} } \right|}} \approx 0,2691.\) Suy ra, \(\widehat {POQ} \approx 74,{3893^ \circ }\).

Mặt khác, đường tròn tâm O, đi qua P, Q có bán kính 1 và chu vi là \(2\pi  \approx 6,2832\), nên cung nhỏ  của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng \(\frac{{74,3893}}{{360}}.6,2832 \approx 1,2983\).

Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí P, Q xấp xỉ bằng 1,2983.6371 = 8271,4693 (km).

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close