Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit - Toán 11 Cánh diều

1. Phương trình mũ

Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng ${a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$.

- Nếu $b \le 0$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu $b > 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = {\log _a}b$.

Với $a > 0,a \ne 1$ thì

• ${a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}b$ với b >0;
• ${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$.

2. Phương trình lôgarit

Phương trình lôgarit cơ bản ẩn x có dạng ${\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$. Phương trình có nghiệm duy nhất $x = {a^b}$.

Với $a > 0,a \ne 1$ thì

• ${\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^b}$.
• ${\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\\left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.$

3. Bất phương trình mũ

Xét bất phương trình mũ ${a^x} > b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$.

- Nếu $b \le 0$, tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$;

- Nếu b > 0, a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là $x > {\log _a}b$;

- Nếu b > 0, 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là $x < {\log _a}b$.

Các bất phương trình mũ cơ bản khác được giải tương tự.

4. Bất phương trình lôgarit

Xét bất phương trình lôgarit ${\log _a}x > b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$.

- Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là $x > {a^b}$.

- Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là 0 < x < ${a^b}$.

Các bất phương trình lôgarit cơ bản khác được giải tương tự.