Lý thuyết Góc Toán 12 Cùng khám phá

1. Góc giữa hai đường thẳng

Lưu ý:

+ \({0^o} \le (d,d') \le {90^o}\).

+ Nếu d//d’ hoặc d\( \equiv \)d’ thì \((d,d') = {0^o}\).

+ \(d \bot d' \Leftrightarrow (d,d') = {90^o}\).

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:

d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 - t\\z = 2t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\) và d’: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 1 + 2t'\\z = 3 - t'\end{array} \right.\) \((t' \in \mathbb{R})\).

Giải:

Đường thẳng d và d’ lần lượt có các vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a  = (1; - 1;2)\) và \(\overrightarrow {a'}  = (1;2; - 1)\).

Ta có \(\cos (d,d') = \frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow {a'} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 - 1.2 + 2.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{6} = \frac{1}{2}\).

Vậy \((d,d') = {60^o}\).

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Lưu ý:

+ \({0^o} \le (d,(\alpha )) \le {90^o}\).

+ Nếu \(d//(\alpha )\) hoặc \(d \subset (\alpha )\) thì \((d,(\alpha )) = {0^o}\).

+ \(d \bot (\alpha ) \Leftrightarrow (d,(\alpha )) = {90^o}\).

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng d: \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \((\alpha )\): \(x + y - 2z + 1 = 0\).

Giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = ( - 1;2; - 1)\), mặt phẳng \((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 2} \right)\).

Ta có: \(\sin (d,(\alpha )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{\left| {( - 1).1 + 2.1( - 1).( - 2)} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).

Vậy \((d,(\alpha )) = {30^o}\).

3. Góc giữa hai mặt phẳng

Lưu ý:

+ \({0^o} \le \left( {(\alpha ),(\beta )} \right) \le {90^o}\).

+ Nếu \((\alpha )\)//\((\beta )\) hoặc \((\alpha ) \equiv (\beta )\) thì \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = {0^o}\).

+ \((\alpha ) \bot (\beta ) \Leftrightarrow \left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = {90^o}\).

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: :\((\alpha )\) \(2x + 2y - 4z + 1 = 0\) và \((\beta )\): \(x - z - 5 = 0\).

Giải:

Mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (2;2; - 4)\) và \(\overrightarrow {n'}  = (1;0; - 1)\).

Ta có: \(\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 2.0 + ( - 4).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = {30^o}\).