Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho đường thẳng d có vector chỉ phương \(\vec a\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vector pháp tuyến \(\vec n\). Gọi d' là hình chiếu của d trên \((\alpha )\). Gọi \(\phi \) là góc giữa d và \((\alpha )\), còn \(\phi '\) là góc giữa \(\vec a\) và \(\vec n\).

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất:

- φ và φ' là hai góc phụ nhau (φ + φ' = 90°).

- Sử dụng công thức lượng giác của góc phụ nhau.

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc nhọn.

Lời giải chi tiết:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng \((\alpha )\) là hai góc phụ nhau.

\(\varphi  + \varphi ' = 90^\circ \) (góc phụ)

Vì vậy:

\(\cos \varphi  = \cos (90^\circ  - \varphi ') = \sin \varphi '\)

\(\sin \varphi  = \sin (90^\circ  - \varphi ') = \cos \varphi '\)

Do đó:

\(\cos \varphi  = \cos \varphi '\) là SAI

\(\sin \varphi  = \left| {\cos \varphi '} \right|\) là ĐÚNG

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x =  - 3 + 2t\;\\y = 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})\;\\z = 2 + t\end{array}\end{array}} \right.\)và các mặt phẳng tọa độ: \((Oxy)\), \((Oxz)\), \((Oyz)\).

Phương pháp giải:

- Xác định vectơ chỉ phương \({\vec v_d} = (x',y',z')\) từ phương trình tham số của đường thẳng.

- Tùy vào mặt phẳng nào (Oxy, Oxz, Oyz), tìm vectơ pháp tuyến tương ứng của nó. - Sử dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

\(\sin \theta  = \frac{{|{{\vec v}_d} \cdot \vec n|}}{{|{{\vec v}_d}||\vec n|}}\)

với \({\vec v_d}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \({\vec v_d} = (2,1,1)\).

Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:

- Oxy: \({\vec n_{Oxy}} = (0,0,1)\)

- Oxz: \({\vec n_{Oxz}} = (0,1,0)\)

- Oyz: \({\vec n_{Oyz}} = (1,0,0)\)

Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và các mặt phẳng:

- Với mặt phẳng Oxy:

\(\sin \theta  = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,0,1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6  \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

- Với mặt phẳng Oxz:

\(\sin \theta  = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,1,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6  \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

- Với mặt phẳng Oyz:

\(\sin \theta  = \frac{{|(2,1,1) \cdot (1,0,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{|2|}}{{\sqrt 6  \cdot 1}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).