Giải bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính góc giữa các cặp mặt phẳng

a) \(\alpha :3x + 4y + 5z - 1 = 0\)  và \(\beta :2x + y + z - 3 = 0\)

b) \(\alpha :x - y + 2z - 1 = 0\) và \(\beta :x + 2y - z + 3 = 0\)

c) \(\alpha :x + 3y - 2z - 1 = 0\) và \(\beta :4x + 2y + 5z - 3 = 0\)

Lời giải chi tiết

a)

- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\overrightarrow {{n_1}}  = (3;4;5)\)

- Vector pháp tuyến của \(\beta \): \(\overrightarrow {{n_2}}  = (2;1;1)\)

\(\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}}  = 3 \times 2 + 4 \times 1 + 5 \times 1 = 15\)

\(|\overrightarrow {{n_1}} | = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}}  = \sqrt {50} ,\quad |\overrightarrow {{n_2}} | = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \)

\(\cos \theta  = \frac{{15}}{{\sqrt {50}  \times \sqrt 6 }} = \frac{{15}}{{\sqrt {300} }} = \frac{{15}}{{10\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\quad  \Rightarrow \quad \theta  = {30^\circ }\)

b)

- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\overrightarrow {{n_1}}  = (1; - 1;2)\)

- Vector pháp tuyến của \(\beta \): \(\overrightarrow {{n_2}}  = (1;2; - 1)\)

\(\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}}  = 1 \times 1 + ( - 1) \times 2 + 2 \times ( - 1) =  - 3\)

\(|\overrightarrow {{n_1}} | = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}}  = \sqrt 6 ,\quad |\overrightarrow {{n_2}} | = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}}  = \sqrt 6 \)

\(\cos \theta  = \frac{3}{{\sqrt 6  \times \sqrt 6 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta  \approx 60^\circ \)

c)

- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\overrightarrow {{n_1}}  = (1;3; - 2)\)

- Vector pháp tuyến của \(\beta \): \(\overrightarrow {{n_2}}  = (4;2;5)\)

\(\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}}  = 1 \times 4 + 3 \times 2 + ( - 2) \times 5 = 0\)

Vì \(\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}}  = 0\) nên hai vectơ pháp tuyến vuông góc với nhau, hay hai mặt phẳng vuông góc với nhau.