Giải bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \(\alpha \)

a) \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}\quad {\rm{và }}\quad \alpha :2x + 2y + 1 = 0\)

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 7t}\\{y =  - 1 - 8t}\\{z = 1 - 15t}\end{array}} \right.,\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(\alpha :2x + 2y + 1 = 0\)

c) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2},\quad \alpha :6x - 2y + 4z = 0\)

Lời giải chi tiết

a)

- Vector chỉ phương của \(d\): \(\vec u = (1;2;2)\)

- Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha \): \(\vec n = (2;2;0)\)

\(\vec u \cdot \vec n = 1 \times 2 + 2 \times 2 + 2 \times 0 = 6\)

\(|\vec u| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  = 3,\quad |\vec n| = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \)

\(\sin \theta  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u||\vec n|}} = \frac{6}{{3 \times 2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\quad  \Rightarrow \quad \theta  = {45^\circ }\)

b)

- Vector chỉ phương của d: \(\vec u = (7; - 8; - 15)\)

- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\vec n = (2;2;0)\)

\(\vec u \cdot \vec n = 7 \times 2 + ( - 8) \times 2 + ( - 15) \times 0 =  - 2\)

\(|\vec u| = \sqrt {{7^2} + {{( - 8)}^2} + {{( - 15)}^2}}  = \sqrt {338} ,\quad |\vec n| = 2\sqrt 2 \)

\(\sin \theta  = \frac{2}{{\sqrt {338}  \times 2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{26}}\quad  \Rightarrow \quad \theta  = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{26}}} \right)\)

c)

- Vector chỉ phương của d: \(\vec u = (3; - 1;2)\)

- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\vec n = (6; - 2;4)\)

\(\vec u \cdot \vec n = 3 \times 6 + ( - 1) \times ( - 2) + 2 \times 4 = 28\)

\(|\vec u| = \sqrt {{3^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}}  = \sqrt {14} ,\quad |\vec n| = \sqrt {{6^2} + {{( - 2)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {56} \)

\(\sin \theta  = \frac{{28}}{{\sqrt {14}  \times \sqrt {56} }} = \frac{{28}}{{28}} = 1\quad  \Rightarrow \quad \theta  = {90^\circ }\)