Giải mục 2 trang 82,83,84 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 84 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng \(\int\limits_1^2 {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \) với độ chính xác 0,01.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:

Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \approx \frac{{b - a}}{{2n}}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\), ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con \(\left[ {{x_0};{x_1}} \right],\left[ {{x_1};{x_2}} \right],...,\left[ {{x_{n - 1}},{x_n}} \right]\), mỗi đoạn có độ dài là \(\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\).

Thuật toán: Để tính xấp xỉ \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) với độ chính xác không vượt quá số \(\varepsilon \) cho trước, ta thực hiện lần lượt các bước sau:

Bước 1: Tính f’’(x) và tìm \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right|\) (hoặc đánh giá \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right| \le M\) nếu việc tìm chính xác là khó).

Bước 2. Với sai số \(\varepsilon \) cho trước, tìm số tự nhiên n (nhỏ nhất) sao cho \(\left| E \right| \le \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}M}}{{12{n^2}}} < \varepsilon \)

Bước 3. Chia đoạn [a; b] thành n đoạn con có độ dài bằng nhau và áp dụng công thức hình thang.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}}}{x}} \right)'} = \frac{{{e^x}.x - {e^x}}}{{{x^2}}},\) \(f''\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}.x - {e^x}}}{{{x^2}}}} \right)} = \frac{{{e^x}.{x^3} - 2{x^2}.{e^x} + 2x.{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}}{{{x^3}}}\)

\(f'''\left( x \right) = \frac{{ - 6.{e^x} + 6x.{e^x} - 3{x^2}{e^x} + {x^3}{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x - 6} \right)}}{{{x^4}}}\)

\(f'''\left( x \right) = 0\) thì \(x \approx 1,596\)

Ta có: \(f''\left( 1 \right) = e,f''\left( {1,569} \right) = \frac{{1,355216{e^{1,569}}}}{{1,{{569}^3}}},f''\left( 2 \right) = \frac{{{e^2}}}{4}\)

Do đó, \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right| = \left| {f'\left( 2 \right)} \right| = \frac{{{e^2}}}{4}\)

Ta cần tìm n sao cho: \(\frac{{{{\left( {2 - 1} \right)}^3}.\frac{{{e^2}}}{4}}}{{12{n^2}}} < 0,01 \Leftrightarrow \frac{{{e^2}}}{{48{n^2}}} < 0,01 \Leftrightarrow n > \frac{{5e}}{{2\sqrt 3 }}\)

Do đó, ta chọn \(n = 5\)

Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2].

Áp dụng công thức hình thang ta có:

\(\int\limits_1^2 {\frac{{{e^x}}}{x}dx}  \approx \frac{{2 - 1}}{{10}}\left( {\frac{{{e^1}}}{1} + \frac{{2{e^{1,2}}}}{{1,2}} + \frac{{2{e^{1,4}}}}{{1,4}} + \frac{{2{e^{1,6}}}}{{1,6}} + \frac{{2{e^{1,8}}}}{{1,8}} + \frac{{{e^2}}}{2}} \right) \approx 3,065\)

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 84 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Một thân cây dài 4,8m được cắt thành các khúc gỗ dài 60cm. Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích S của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây x(cm) là khoảng cách tính từ đỉnh cây đến vết cắt.

Tính thể tích gần đúng của thân cây này.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:

Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \approx \frac{{b - a}}{{2n}}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\), ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con \(\left[ {{x_0};{x_1}} \right],\left[ {{x_1};{x_2}} \right],...,\left[ {{x_{n - 1}},{x_n}} \right]\), mỗi đoạn có độ dài là \(\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\).

Lời giải chi tiết:

Thế tích gần đúng của thân cây này là: \(V = \int\limits_0^{480} {S\left( x \right)dx} \)

Theo công thức hình thang ta có:

\(\int\limits_0^{480} {S\left( x \right)dx}  \approx \frac{{480}}{{2.9}}\left[ {240 + 2.248 + 2.256 + 2.260 + 2.264 + 2.272 + 2.298 + 2.316 + 320} \right] \approx \frac{{351040}}{3}\)

Vậy thể tích thân cây khoảng \(\frac{{351040}}{3}c{m^3}\)