Giải mục 1 trang 67, 68 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {1;0;5} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {1;3;9} \right)\).

a) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \).

b) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) và \(2\overrightarrow a \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \), từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tính: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\overrightarrow a  = \left( {1;0;5} \right) = \overrightarrow i  + 5\overrightarrow k \); \(\overrightarrow b  = \left( {1;3;9} \right) = \overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  + 9\overrightarrow k \).

b) Ta có: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow i  + 5\overrightarrow k  + \overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  + 9\overrightarrow k  = 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  + 14\overrightarrow k \). Do đó, \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {2;3;14} \right)\)

\(2\overrightarrow a  = 2\left( {\overrightarrow i  + 5\overrightarrow k } \right) = 2\overrightarrow i  + 10\overrightarrow k \). Do đó, \(2\overrightarrow a  = \left( {2;0;10} \right)\)

CH

Trả lời Câu hỏi trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Nếu tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là (x; y; z) thì tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là gì?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ để tính: Trong không gian Oxyz cho vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)\) thì \(k\overrightarrow a  = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.

Lời giải chi tiết:

Vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là \( - \overrightarrow a \).

Tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là: \(\left( { - x; - y; - z} \right)\).

LT1

Trả lời Luyện tập 1 trang 68 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {1;8;6} \right),\overrightarrow v  = \left( { - 1;3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow w  = \left( {0;5;4} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u  - 2\overrightarrow v  + \overrightarrow w \).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {x';y';z'} \right)\). Ta có:

+ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\);

+ \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {x - x';y - y';z - z'} \right)\);

+ \(k\overrightarrow a  = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow u  - 2\overrightarrow v  + \overrightarrow w  = \left( {1;8;6} \right) - 2\left( { - 1;3; - 2} \right) + \left( {0;5;4} \right) = \left( {1 + 2;8 - 6 + 5;6 + 4 + 4} \right) = \left( {3;7;14} \right)\)

HĐ2

Trả lời Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\).

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A và B và C.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kiến thức về hệ thức trung điểm của đoạn thẳng để tính: Nếu M là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right)\).

b) Sử dụng kiến thức về hệ thức trọng tâm của tam giác để tính: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right),\overrightarrow {OC}  = \left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\)

a) Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\).

Do đó, \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).

b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\). Do đó, \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).

LT2

Trả lời Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;9; - 1} \right),B\left( {9;4;5} \right)\) và \(G\left( {3;0;4} \right)\). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Khi đó, tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Để G là trọng tâm của tam giác ABC thì

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.3 - 2 - 9 =  - 2\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.0 - 9 - 4 =  - 13\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.4 + 1 - 5 = 8\end{array} \right.\)

Vậy \(C\left( { - 2; - 13;8} \right)\)