Giải bài tập 5.5 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tứ diện ABCD có các đỉnh \((A(5;1;3),B(1;6;2),C(5;0;4),D(4;0;6)\).

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa cạnh AB và song song với cạnh CD.

Lời giải chi tiết

a)

Mặt phẳng \((ACD)\)

- Tính các vectơ \(\overrightarrow {AC}  = (0; - 1;1)\) và \(\overrightarrow {AD}  = ( - 1; - 1;3).\)

- Tích có hướng:

\(\vec n = \overrightarrow {AC}  \times \overrightarrow {AD}  = \left( {( - 1).3 - 1.( - 1);\,\,\,1.( - 1) - 0.3;\,\,\,0.( - 1) - ( - 1).( - 1)} \right) = ( - 2; - 1; - 1)\)

Phương trình mặt phẳng \((ACD)\) là:

\( - 2(x - 5) - 1(y - 1) - 1(z - 3) = 0\)

Rút gọn:

\( - 2x +  - y - z + 14 = 0\)

\(2x + y + z - 14 = 0\)

Mặt phẳng \((BCD)\)

- Tính các vectơ \(\overrightarrow {BC}  = (4; - 6;2)\) và \(\overrightarrow {BD}  = (3; - 6;4)\).

- Tích có hướng:

\(\vec n = \overrightarrow {BC}  \times \overrightarrow {BD}  = \left( {( - 6).4 - 2.( - 6);\,\,2.3 - 4.4;\,\,4.( - 6) - ( - 6).3} \right) = ( - 12; - 10; - 6)\)

Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) là:

\( - 12(x - 1) - 10(y - 6) - 6(z - 2) = 0\)

Rút gọn:

\( - 12x - 10y - 6z + 84 = 0\)

Chia cả phương trình cho 2:

\(6x + 5y + 3z - 42 = 0\)

b)

- Tính vectơ \(\overrightarrow {AB}  = ( - 4;5; - 1)\) và \(\overrightarrow {CD}  = ( - 1;0;2).\)

- Vì mặt phẳng chứa cạnh AB và song song với cạnh CD, nên tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

\(\vec n = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {CD}  = \left( {5.2 - ( - 1).0;\,\,\,( - 1).( - 1) - ( - 4).2;\,\,( - 4).0 - 5.( - 1)} \right) = (10;6;5)\)

Phương trình mặt phẳng là:

\(10(x - 5) + 9(y - 1) + 5(z - 3) = 0\)

Rút gọn:

\(10x + 9y + 5z - 74 = 0\)