Giải bài tập 5.8 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Xét tính song song, vuông góc giữa hai mặt phẳng sau:

a) \(({\alpha _1}):x + 2y - 3z + 2 = 0\) và \(({\alpha _2}): - 2x - 4y + 6z - 5 = 0\).

b) \(({\beta _1}):x + 2z - 5 = 0\) và \(({\beta _2}):4x - 3y - 2z + 1 = 0\).

c) \(({\gamma _1}):x - 2y + z + 3 = 0\) và \(({\gamma _2}):2x - 4y + 3z + 2 = 0\).

Lời giải chi tiết

a)

Vector pháp tuyến của \(({\alpha _1})\): \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}}  = (1,2, - 3)\).

Vector pháp tuyến của \(({\alpha _2})\): \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}}  = ( - 2, - 4,6)\).

Ta nhận thấy: \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}}  =  - 2 \cdot \overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} \), do đó \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} \) cùng phương.

Suy ra hai mặt phẳng song song.

b)

Vector pháp tuyến của \(({\beta _1})\): \(\overrightarrow {{n_{{\beta _1}}}}  = (1,0,2)\).

Vector pháp tuyến của \(({\beta _2})\): \(\overrightarrow {{n_{{\beta _2}}}}  = (4, - 3, - 2)\).

Tích vô hướng:

\(\overrightarrow {{n_{{\beta _1}}}}  \cdot \overrightarrow {{n_{{\beta _2}}}}  = 1 \cdot 4 + 0 \cdot ( - 3) + 2 \cdot ( - 2) = 4 - 4 = 0\)

Suy ra hai mặt phẳng vuông góc.

c)

Vector pháp tuyến của \(({\gamma _1})\): \(\overrightarrow {{n_{{\gamma _1}}}}  = (1, - 2,1)\).

Vector pháp tuyến của \(({\gamma _2})\): \(\overrightarrow {{n_{{\gamma _2}}}}  = (2, - 4,3)\).

Tỉ lệ giữa các thành phần của vector là:

\(\frac{2}{1} = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} = \frac{3}{1}\)

Tích vô hướng:

\(\overrightarrow {{n_{{\gamma _1}}}} .\overrightarrow {{n_{{\gamma _2}}}}  = 1.2 + ( - 2).( - 4) + 1.3 = 13 \ne 0\)

Có thể thấy hai vector không cùng phương và cũng không vuông góc.

Suy ra hai mặt phẳng không vuông góc cũng không song song