Giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với các đỉnh:

\(A(0;1;2),\quad B(0;1;3,5),\quad C(0;4;3,5),\quad D(0;2,5;2),\,\,\,\,\,\,E(2;1;2)\) (Hình 5.15)

a) Viết phương trình mặt phẳng \((EFGH)\) và tính chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH.

b) Viết phương trình mặt phẳng \((CDHG)\) và tính khoảng cách từ điểm \(F\) đến mặt phẳng \((CDHG)\).

Lời giải chi tiết

a)

Vì ABCD.EFGH là hình lăng trụ tứ giác nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  \((EFGH)\) cũng chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\).

Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\):

\(\overrightarrow {AB}  = (0;0;1,5)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AC}  = (0;3;1,5)\)

\(\overrightarrow n  = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AC}  = ( - 4,5;0;0)\)

Phương trình mặt phẳng \((EFGH)\) có dạng:

\( - 4,5x + 9 = 0 \Leftrightarrow  - x + 2 = 0\)

Chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH cũng chính là khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng \((EFGH)\):

\(d = \frac{{\left| { - 1.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2}} }} = \frac{2}{1} = 2\)

Vậy chiều cao của hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH là 2.

b)

Ta có:

\(\overrightarrow {EH}  = \overrightarrow {AD}  \to \overrightarrow {OH}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {OE}  = (0 - 0 + 2;2,5 - 1 + 1;2 - 2 + 2) = (2;2,5;2)\)

Các điểm thuộc mặt phẳng \((CDHG)\) là \(C(0;4;3.5)\), \(D(0;4;2)\), \(H(2;2,5;2)\).

Tìm hai vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {CD}  = (0; - 1,5; - 1,5),\quad \overrightarrow {CH}  = (2; - 1;5; - 1.5).\)

Tính tích có hướng của hai vectơ:

\(\vec n = \overrightarrow {CD}  \times \overrightarrow {CH}  = (0; - 3;3).\)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\vec n = (0; - 3;3)\). Phương trình mặt phẳng có dạng:

\( - 3(y - 4) + 3(z - 3,5) = 0\quad  \Rightarrow \quad  - 3y + 3z + 1,5 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2y - 2z - 1 = 0\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((CDHG)\) là \(2y - 2z - 1 = 0\).

Ta có:

\(\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow {AB}  \to \overrightarrow {OF}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {OE}  = (0 + 2;0 + 1;1,5 + 2) = (2;1;3,5)\)

Khoảng cách từ điểm \(F(2;1;3,5)\) đến mặt phẳng \(2y - 2z - 1 = 0\) được tính bằng:

\(d = \frac{{\left| {2.1 - 2.3,5 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy khoảng cách từ điểm \(F\) đến mặt phẳng \((CDHG)\) là \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).