Giải bài tập 5.7 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm \(A(1;0;1)\), \(B(5;2;3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\): \(2x - y + z - 7 = 0\).

Lời giải chi tiết

Vector pháp tuyến của mặt phẳng \((\beta )\) là: \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = (2, - 1,1)\).

Vector chỉ phương của đường thẳng qua hai điểm \(A(1;0;1)\) và \(B(5;2;3)\) là:

\(\overrightarrow {AB}  = (5 - 1;2 - 0;3 - 1) = (4;2;2)\)

Gọi \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (A,B,C)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\). Vì \((\alpha )\) vuông góc với \((\beta )\), nên vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\)sẽ bằng tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {{n_\beta }} \):

\(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2.1 - 2.( - 1);\,\,\,4.1 - 2.2;\,\,\,4.( - 1) - 2.2} \right) = \left( {4;0; - 8} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng: \(x - 2z + D = 0\).

Thay tọa độ điểm \(A(1;0;1)\) vào phương trình để tìm \(D\):

\(1 - 2(1) + D = 0 \Rightarrow D = 1\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) là:

\(x - 2z + 1 = 0\)