Giải bài tập 5.15 trang 48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thứcTrong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\). a) Chứng minh rằng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Quảng cáo
Đề bài Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\). a) Chứng minh rằng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó: \({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\). Lời giải chi tiết a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {3;1;2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1;3;2} \right)\). Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {3;1;2} \right)\). Vì \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương. Lại có: \(\frac{{1 - 1}}{3} \ne \frac{{3 + 1}}{1}\) nên điểm A không thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\). Do đó, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song nhau. b) Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \(B\left( {1; - 1;0} \right)\) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {0; - 4; - 2} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {3;1;2} \right)\). Lại có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 4}&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\0&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;6; - 12} \right)\) Do đó, mặt phẳng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) nhận \(\frac{1}{6}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {1;1; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến. Lại có, điểm \(A\left( {1;3;2} \right)\) thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là: \(x - 1 + y - 3 - 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z = 0\).  Chia sẻ Bình luận
Quảng cáo
Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD
|
