Giải bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc \(v\) (km/h) phụ thuộc vào thời gian \(t\) (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh \(I(2;9)\) và trục đối xứng song song với trục tung như Hình 4.30. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

A. \(25,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)

B. \(24,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)

C. \(24,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)

D. \(26,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)

Lời giải chi tiết

Ta biết rằng đồ thị \(v(t)\) có dạng một parabol với đỉnh \(I(2;9)\), vậy phương trình của parabol có dạng:

\(v(t) = a{(t - 2)^2} + 9\)

Dựa vào điểm \((0,6)\) trên đồ thị (vận tốc tại thời điểm \(t = 0\)), ta thay vào phương trình để tìm \(a\):

\(6 = a{(0 - 2)^2} + 9\)

\(6 = 4a + 9 \Rightarrow 4a =  - 3 \Rightarrow a =  - \frac{3}{4}\)

Vậy phương trình của vận tốc là:

\(v(t) =  - \frac{3}{4}{(t - 2)^2} + 9\)

Bây giờ, ta tính quãng đường \(S\) bằng cách lấy tích phân:

\(S = \int_0^3 {\left( { - \frac{3}{4}{{(t - 2)}^2} + 9} \right)} dt = \int_0^3  -  \frac{3}{4}{(t - 2)^2}{\mkern 1mu} dt + \int_0^3 9 {\mkern 1mu} dt\)

Tính tích phân của \(9\):

\(\int_0^3 9 {\mkern 1mu} dt = 9t|_0^3 = 9(3 - 0) = 27\)

Tính tích phân của \( - \frac{3}{4}{(t - 2)^2}\): Sử dụng biến đổi \(u = t - 2\), tích phân trở thành:

\(\int_0^3  -  \frac{3}{4}{(t - 2)^2}{\mkern 1mu} dt = \int_{ - 2}^1  -  \frac{3}{4}{u^2}{\mkern 1mu} du\)

Tính tích phân của \({u^2}\):

\(\int_{ - 2}^1  -  \frac{3}{4}{u^2}{\mkern 1mu} du =  - \frac{3}{4} \cdot \frac{{{u^3}}}{3}|_{ - 2}^1 =  - \frac{1}{4}\left( {{1^3} - {{( - 2)}^3}} \right) =  - \frac{1}{4}(1 + 8) =  - \frac{9}{4}\)

Vậy quãng đường \(S\) là:

\(S = 27 - \frac{9}{4} = \frac{{108}}{4} - \frac{9}{4} = \frac{{99}}{4} = 24,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)

Chọn C.