Giải bài tập 4.15 trang 25 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

 

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) \(y = {e^x},y = {x^2} - 1,x =  - 1,x = 1\);

b) \(y = \sin x,y = x,x = \frac{\pi }{2},x = \pi \);

c) \(y = 9 - {x^2},y = 2{x^2},x =  - \sqrt 3 ,x = \sqrt 3 \);

d) \(y = \sqrt x ,y = {x^2},x = 0,x = 1\).

Lời giải chi tiết

a) Diện tích hình cần tìm là:

\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - {x^2} + 1} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{e^x} - {x^2} + 1} \right)dx}  = \left( {{e^x} - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\ - 1\end{array} \right.\)

\( = e - \frac{1}{3} + 1 - \left( {\frac{1}{e} + \frac{1}{3} - 1} \right) = e - \frac{1}{e} + \frac{4}{3}\)

b) Diện tích hình cần tính là:

\(S = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\left| {\sin x - x} \right|dx}  =  - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\left( {\sin x - x} \right)dx}  = \left( {\cos x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}\pi \\\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

\( = \cos \pi  + \frac{{{\pi ^2}}}{2} - \cos \frac{\pi }{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{8} =  - 1 + \frac{{3{\pi ^2}}}{8}\)

c) Diện tích hình cần tính là:

\(S = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {9 - {x^2} - 2{x^2}} \right|dx}  = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left( {9 - 3{x^2}} \right)dx}  = \left( {9x - {x^3}} \right)\left| \begin{array}{l}\sqrt 3 \\ - \sqrt 3 \end{array} \right.\)

\( = 9\sqrt 3  - {\left( {\sqrt 3 } \right)^3} + 9\sqrt 3  + {\left( { - \sqrt 3 } \right)^3} = 12\sqrt 3 \)

d) Diện tích hình cần tính là:

\(S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x  - {x^2}} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x  - {x^2}} \right)dx}  = \left( {\frac{{2x\sqrt x }}{3} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)