Giải bài tập 1.44 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}\).

a) Viết công thức tính \(q = g\left( p \right)\) như một hàm số của biến \(p \in \left( {f; + \infty } \right)\).
b) Tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } g\left( p \right),\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g\left( p \right)\) và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
Lập bảng biến thiên của hàm số \(q = g\left( p \right)\) trên khoảng \(\left( {f; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f} \Rightarrow q = \frac{{pf}}{{p - f}}\). Do đó, \(q = g\left( p \right) = \frac{{pf}}{{p - f}}\) với \(p \in \left( {f; + \infty } \right)\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{p \to  + \infty } g\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to  + \infty } \frac{{pf}}{{p - f}} = \mathop {\lim }\limits_{p \to  + \infty } \frac{f}{{1 - \frac{f}{p}}} = f,\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} \frac{{pf}}{{p - f}} =  + \infty \)

Ý nghĩa của \(\mathop {\lim }\limits_{p \to  + \infty } g\left( p \right) = f\): Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến ra vô cùng thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính xấp xỉ tiêu cự.

Ý nghĩa của \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g\left( p \right) =  + \infty \): Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến gần về tiêu cự f thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là càng lớn.

c) Ta có: \(q' = g'\left( p \right) = \frac{{ - {f^2}}}{{{{\left( {p - f} \right)}^2}}} < 0\;\forall p \in \left( {f; + \infty } \right)\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {f; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên: