Giải bài tập 12 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diềuMột bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD (bờ sông là đường thẳng CD không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông? Quảng cáo
Đề bài
Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD (bờ sông là đường thẳng CD không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông? Phương pháp giải - Xem chi tiết Phân tích đề bài. Tìm các mối quan hệ trong bài. Lập phương trình và giải. Lời giải chi tiết
Dựng các đường cao AE và BF của hình thang cân ABCD như hình vẽ trên. Vì ABCD là hình thang cân nên DE = FC và EF = AB = a. Đặt DE = FC = x (m) (x > 0). Ta có DC = DE + EF + FC = x + a + x = 2x + a. Theo định lí Pythagore, ta suy ra \(AE = \sqrt {A{D^2} - D{E^2}} = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \) (m). Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < a. Diện tích của hình thang cân ABCD là: \(S = \frac{1}{2}(AB + CD)AE = \frac{1}{2}(a + 2x + a)\sqrt {{a^2} - {x^2}} = (a + x)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \) (m2). Xét hàm số \(S(x) = (a + x)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \) với \(x \in (0;a)\). Ta có \(S'(x) = \frac{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow - 2{x^2} - ax + {a^2} = 0 \Leftrightarrow (x + a)(a - 2x) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - a}\\{x = \frac{a}{2}}\end{array}} \right.\) Khi đó trên khoảng (0;a), S’(x) = 0 khi \(x = \frac{a}{2}\). Ta có bảng biến thiên:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) tại \(x = \frac{a}{2}\). Vậy bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là \(\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) (m2).  Chia sẻ Bình luận
Quảng cáo
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
|
