Giải bài 9.16 trang 53 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Chứng minh rằng:

\(\widehat {BIC} = {90^o} + \frac{{\widehat {BAC}}}{2};\widehat {CIA} = {90^o} + \frac{{\widehat {CBA}}}{2};\widehat {AIB} = {90^o} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\).

Lời giải chi tiết

Vì I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC nên \(\widehat {IBC} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2};\widehat {ICB} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\).

Tam giác ABC có:

\(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {BAC} = {180^o}\) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^o} - \widehat {BAC}\).

Do đó, \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {ACB}}}{2} = {90^o} - \frac{{\widehat {BAC}}}{2}\).

Tam giác BIC có:

\(\widehat {BIC} = {180^o} - \widehat {IBC} - \widehat {ICB} \\= {180^o} - {90^o} + \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = {90^o} + \frac{{\widehat {BAC}}}{2}.\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\widehat {CIA} = {90^o} + \frac{{\widehat {CBA}}}{2};\)

\(\widehat {AIB} = {90^o} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\).