Giải bài 9.14 trang 60 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Biết \(y\) là hàm số của \(x\) thoả mãn phương trình \(xy = 1 + \ln y\). Tính \(y'\left( 0 \right)\).

Lời giải chi tiết

Dùng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có:

\(y + xy' = {\left( {\ln y} \right)^\prime } = \frac{{y'}}{y} \Rightarrow y'\left( {\frac{1}{y} - x} \right) = y \Rightarrow y' = \frac{{{y^2}}}{{1 - xy}}\)

Tại \(x = 0\), thay vào phương trình ta được \(1 + \ln y = 0 \Leftrightarrow y = {{\rm{e}}^{ - 1}} = \frac{1}{{\rm{e}}}\).

Vậy \(y'\left( 0 \right) = \frac{1}{{{{\rm{e}}^2}}}\).