Giải bài 9 trang 72 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Ở một khu vực, tất cả trẻ sơ sinh đều đã được tiêm từ 1 đến 4 liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi.

Biểu đồ bên biểu diễn tỉ lệ trẻ em theo số liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B đã được tiêm cho đến khi được 18 tháng tuổi ở khu vực đó.

a) Trung bình mỗi trẻ em ở khu vực đó được tiêm bao nhiêu liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi?

b) Chọn ngẫu nhiên một cách độc lập 50 trẻ em từ khu vực đó. Gọi X là số trẻ em đã được tiêm ít nhất 3 mũi vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi. Hãy tính kì vọng và phương sai của X.

Lời giải chi tiết

a) Bảng phân bố xác suất của X:

Số liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trung bình mỗi trẻ em ở khu vực đó được tiêm trước khi được 18 tháng tuổi là:

$E\left( X \right) = 1.0,05 + 2.0,15 + 3.0,3 + 4.0,5 = 3,25$

b) Xác suất để trẻ được tiêm ít nhất 3 mũ vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi là: $P\left( {X \ge 3} \right) = P\left( {X = 3} \right) + P\left( {X = 4} \right) = 0,3 + 0,5 = 0,8$.

Gọi $T$ là phép thử: “Chọn ngẫu nhiên 1 trẻ em ở khu vực đó” và $A$ là biến cố: “Trẻ đã được tiêm ít nhất 3 mũ vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi”. Gọi X là số lần xảy ra biến cố $A$ khi lặp lại 50 lần phép thử $T$.

Do phép thử $T$ được thực hiện 50 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố $A$ mỗi lần thử là 0,8 nên X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức $B\left( {50;0,8} \right)$.

Kì vọng của X là: $E\left( X \right) = 50.0,8 = 40$.

Phương sai của X là: $V\left( X \right) = 50.0,8\left( {1 - 0,8} \right) = 8$.