Giải bài 10 trang 72 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cô An thiết kế một đề thi trắc nghiệm gồm $m$ câu hỏi, mỗi câu hỏi có $k$ lựa chọn. Mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm. Cô An muốn thiết kế sao cho nếu một học sinh lựa chọn phương án trả lời cho mỗi câu hỏi một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau thì điểm số trung bình của học sinh đó sẽ là 10 với độ lệch chuẩn ít nhất là $2\sqrt 2$. Cô An cũng muốn số phương án trả lời $k$ ít nhất có thể. Vậy cô An nên thiết kế đề với $m$ và $k$ bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Gọi $T$ là phép thử: “Chọn ngẫu nhiên 1 câu hỏi” và $A$ là biến cố: “Học sinh trả lời đúng câu hỏi đó”. Gọi X là số lần xảy ra biến cố $A$ khi lặp lại $m$ lần phép thử $T$.

Do phép thử $T$ được thực hiện $m$ lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố $A$ mỗi lần thử là $\frac{1}{k}$ nên X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức $B\left( {m;\frac{1}{k}} \right)$.

Kì vọng của X là: $E\left( X \right) = m.\frac{1}{k} = \frac{m}{k}$.

Phương sai của X là: $V\left( X \right) = m.\frac{1}{k}\left( {1 - \frac{1}{k}} \right) = \frac{{m\left( {k - 1} \right)}}{{{k^2}}}$.

Độ lệch chuẩn của X là: $\sigma \left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)}  = \sqrt {\frac{{m\left( {k - 1} \right)}}{{{k^2}}}}  = \frac{{\sqrt {m\left( {k - 1} \right)} }}{k}$.

Điểm số trung bình của học sinh đó là 10 nên ta có: $\frac{m}{k} = 10 \Leftrightarrow m = 10k$.

Độ lệch chuẩn ít nhất là $2\sqrt 2$ nên ta có $\frac{{\sqrt {m\left( {k - 1} \right)} }}{k} \ge 2\sqrt 2  \Leftrightarrow \frac{{m\left( {k - 1} \right)}}{{{k^2}}} \ge 8$

$\Leftrightarrow \frac{{10k\left( {k - 1} \right)}}{{{k^2}}} \ge 8 \Leftrightarrow \frac{{10\left( {k - 1} \right)}}{k} \ge 8 \Leftrightarrow k \ge 5$.

Cô An cũng muốn số phương án trả lời $k$ ít nhất có thể nên $k = 5$. Vậy $m = 50$.