Giải bài 6.5 trang 43 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Cho hai biến cố A và B với \(P\left( A \right) > 0,{\rm{ }}P\left( A \right) > 0\). Chứng minh rằng nếu \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\) thì \(A,B\) độc lập.

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Quảng cáo

Đề bài

Cho hai biến cố A và B với \(P\left( A \right) > 0,{\rm{ }}P\left( A \right) > 0\). Chứng minh rằng nếu \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\) thì \(A,B\) độc lập.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện để biến đổi, cần chứng minh \(P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right)\) và \(P\left( {B|A} \right) = P\left( B \right)\).

Lời giải chi tiết

Giả sử \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\) với \(P\left( A \right) > 0,{\rm{ }}P\left( A \right) > 0\).

Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( B \right)}} = P\left( A \right)\); \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}} = P\left( B \right)\).

Suy ra việc xảy ra biến cố B không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố A và ngược lại.

Do đó A và B độc lập.

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close