Giải bài 6.22 trang 14 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2

Đề bài

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm là ${x_1}$, ${x_2}$ thì đa thức $a{x^2} + bx + c$ được phân tích được thành nhân tử như sau: $a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$.

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: $2{x^2} - 9x + 7$; $4{x^2} + \left( {\sqrt 2  - 3} \right)x - 7 + \sqrt 2$.

Lời giải chi tiết

Với ${x_1}$ và ${x_2}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$, theo định lí Viète ta có: ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$. Do đó:

$a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) \\= a{x^2} - a\left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + a{x_1}{x_2} \\= a{x^2} - a.\frac{{ - b}}{a}.x + a.\frac{c}{a} \\= a{x^2} + bx + c.$

Đó là điều phải chứng minh.

Áp dụng:

a) Vì $2 - 9 + 7 = 0$ nên phương trình $2{x^2} - 9x + 7 = 0$ có hai nghiệm ${x_1} = 1;{x_2} = \frac{7}{2}$

nên $2{x^2} - 9x + 7 = 2\left( {x - 1} \right)\left( {x - \frac{7}{2}} \right)$

b) Vì $4 - \left( {\sqrt 2  - 3} \right) - 7 + \sqrt 2  = 0$ nên phương trình $4{x^2} + \left( {\sqrt 2  - 3} \right)x - 7 + \sqrt 2  = 0$ có hai nghiệm ${x_1} =  - 1;{x_2} = \frac{{7 - \sqrt 2 }}{4}$

nên $4{x^2} + \left( {\sqrt 2  - 3} \right)x - 7 + \sqrt 2$ $= 4\left( {x + 1} \right)\left( {x + \frac{{\sqrt 2  - 7}}{4}} \right).$