Bài 60 trang 100 Vở bài tập toán 7 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

Giả sử tam giác \(MNP\) có hai góc nhọn là \(\widehat N\) và  \(\widehat P\); hai đường cao \(NQ\) và \(PR\) bằng nhau. Ta sẽ chứng minh tam giác \(MNP\) cân tại \(M\).

Vì góc \(N\) nhọn nên chân đường cao xuất phát từ đỉnh \(P\) là điểm \(R\) thuộc \(MN\) (\(R\) ở giữa \(M\) và \(N\)). Tương tự, \(Q\) ở giữa \(M\) và \(P\).

Hai tam giác vuông \(MNQ\) và \(MPR\) có góc \(M\) chung, \(NQ=PR\) (giả thiết) nên \(\Delta MNQ = \Delta MPR\), suy ra \(MN=MP\), hay tam giác \(MNP\) cân tại \(M\).

Theo chứng minh trên, tam giác có ba đường cao bằng nhau thì nó sẽ lần lượt cân tại cả ba đỉnh của tam giác đó. Do đó, tam giác có ba đường cao bằng nhau là một tam giác đều.

Loigiaihay.com