Giải bài 6 trang 23, 24 vở thực hành Toán 9 tập 2

Đề bài

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì đa thức \(a{x^2} + bx + c\) được phân tích được thành nhân tử như sau: \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\).

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \({x^2} + 11x + 18\);

b) \(3{x^2} + 5x - 2\).

Lời giải chi tiết

Với \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\), theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\). Do đó:

\(a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) \\= a{x^2} - a\left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + a{x_1}{x_2} \\= a{x^2} - a.\frac{{ - b}}{a}.x + a.\frac{c}{a} \\= a{x^2} + bx + c.\)

Đó là điều phải chứng minh.

Áp dụng:

a) Do phương trình \({x^2} + 11x + 18 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} =  - 2;{x_2} =  - 9\)

nên \({x^2} + 11x + 18 = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 9} \right)\)

b) Do phương trình \(3{x^2} + 5x - 2 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = \frac{1}{3};{x_2} =  - 2\) nên

\(3{x^2} + 5x - 2 \\= 3\left( {x - \frac{1}{3}} \right)\left( {x + 2} \right) \\= \left( {x + 2} \right)\left( {3x - 1} \right).\)