Giải bài 50 trang 17 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:

a) A: “\(\forall n \in {\mathbb{N}^*},n > \frac{1}{n}\)”.

b) B: “\(\exists x \in \mathbb{Z},2x + 3 = 0\)”.

c) C: “\(\exists x \in \mathbb{Q},4{x^2} - 1 = 0\)”.

b) D: “\(\forall n \in \mathbb{N},{n^2} + 1\) không chia hết cho 3”.

Lời giải chi tiết

a) Phủ định của A:  là mệnh đề

vì \(n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(1 \le n \Leftrightarrow \frac{1}{n} \le \frac{n}{n} = 1 \le n\)_. Suy ra \(n \ge \frac{1}{n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy \(\overline A \)đúng

b) Phủ định của  là mệnh đề

Xét \(2x + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow x =  - \frac{3}{2}\). Mà \( - \frac{3}{2} \notin \mathbb{Z}\)

Do đó không tồn tại số nguyên x thỏa mãn \(2x + 3 = 0\)

Vậy \(\overline B \) đúng

c) Phủ định của  là mệnh đề

Xét phương trình \(4{x^2} - 1 = 0\)

                    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^2} = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}\\{x =  - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Mà \( - \frac{1}{2}\); \(\frac{1}{2}\) \( \in \mathbb{Q}\) nên tồn tại số hữu tỉ \(x =  - \frac{1}{2}\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\) thỏa mãn \(4{x^2} - 1 = 0\)

Vậy \(\overline C \)sai

d) Phủ định của D: “\(\forall n \in \mathbb{N},{n^2} + 1\) không chia hết cho 3” là mệnh đề \(\overline D \): “\(\exists n \in \mathbb{N},{n^2} + 1\) chia hết cho 3”

Ta xét các trường hợp sau của n:

TH1: n=3k (\(k \in \mathbb{N}\))

\( \Rightarrow {n^2} + 1 = 9{k^2} + 1\) không chia hết cho 3

TH2: n = 3k+1 (\(k \in \mathbb{N}\))

\( \Rightarrow {n^2} + 1 = 9{k^2} + 6k + 1 + 1 = 9{k^2} + 6k + 2\) không chia hết cho 3

TH3: n=3k+2 (\(k \in \mathbb{N}\))

\( \Rightarrow {n^2} + 1 = 9{k^2} + 12k + 4 + 1 = 9{k^2} + 12k + 5\) không chia hết cho 3

Suy ra \({n^2} + 1\) không chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n

Vậy \(\overline D \) sai