Giải bài 50 trang 17 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:

a) A: “$\forall n \in {\mathbb{N}^*},n > \frac{1}{n}$”.

b) B: “$\exists x \in \mathbb{Z},2x + 3 = 0$”.

c) C: “$\exists x \in \mathbb{Q},4{x^2} - 1 = 0$”.

b) D: “$\forall n \in \mathbb{N},{n^2} + 1$ không chia hết cho 3”.

Lời giải chi tiết

a) Phủ định của A:  là mệnh đề

vì $n \in {\mathbb{N}^*}$ nên $1 \le n \Leftrightarrow \frac{1}{n} \le \frac{n}{n} = 1 \le n$_. Suy ra $n \ge \frac{1}{n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Vậy $\overline A$đúng

b) Phủ định của  là mệnh đề

Xét $2x + 3 = 0$ $\Leftrightarrow x =  - \frac{3}{2}$. Mà $- \frac{3}{2} \notin \mathbb{Z}$

Do đó không tồn tại số nguyên x thỏa mãn $2x + 3 = 0$

Vậy $\overline B$ đúng

c) Phủ định của  là mệnh đề

Xét phương trình $4{x^2} - 1 = 0$

                    $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^2} = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}\\{x =  - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\end{array}$

Mà $- \frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$ $\in \mathbb{Q}$ nên tồn tại số hữu tỉ $x =  - \frac{1}{2}$ hoặc $x = \frac{1}{2}$ thỏa mãn $4{x^2} - 1 = 0$

Vậy $\overline C$sai

d) Phủ định của D: “$\forall n \in \mathbb{N},{n^2} + 1$ không chia hết cho 3” là mệnh đề $\overline D$: “$\exists n \in \mathbb{N},{n^2} + 1$ chia hết cho 3”

Ta xét các trường hợp sau của n:

TH1: n=3k ($k \in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow {n^2} + 1 = 9{k^2} + 1$ không chia hết cho 3

TH2: n = 3k+1 ($k \in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow {n^2} + 1 = 9{k^2} + 6k + 1 + 1 = 9{k^2} + 6k + 2$ không chia hết cho 3

TH3: n=3k+2 ($k \in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow {n^2} + 1 = 9{k^2} + 12k + 4 + 1 = 9{k^2} + 12k + 5$ không chia hết cho 3

Suy ra ${n^2} + 1$ không chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n

Vậy $\overline D$ sai