Giải bài 5 trang 70 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x - 2y - 15 = 0\)

a) Chứng tỏ rằng điểm \(A\left( {0;5} \right)\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {0;5} \right)\)

c) Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(8x + 6y + 99 = 0\)

Lời giải chi tiết

\(\left( C \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x - 2y - 15 = 0\) 

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 - 25 = 0\\
\Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} = 25
\end{array}\)

\( \Rightarrow \) (C) có tâm I(3;2) và bán kính R=5.

a) \(A(0;5)\) thuộc (C) vì \({0^2} - 6.0 + 9 + {5^2} - 2.5 + 1 - 25 = 0\)

b) + VTPT của PT tiếp tuyến tại A là \(\overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow {IA}  = \left( { 3;-4} \right)  \)

PT tiếp tuyến tại A là \( d: 3\left( {x - 0} \right) - 4\left( {y - 5} \right) = 0  \Rightarrow d: 3x - 4y + 20 = 0\)

c) + \(\Delta //8x + 6y + 99 = 0 \Rightarrow \Delta :8x + 6y + c = 0\left( {c \ne 99} \right)\)

+ \(d\left( {I,\Delta } \right) = R \Rightarrow \frac{{\left| {8.3 + 6.1 + c} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {6^2}} }} = 5 \Rightarrow \left| {c + 30} \right| = 50 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 20\\c =  - 80\end{array} \right.\)

Vậy \(\Delta :8x + 6y + 20 = 0\) hoặc \(\Delta :8x + 6y - 80 = 0\)