Giải bài 5 trang 55 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tính góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\alpha \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {1;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {5;2;7} \right)\);

b) \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - \sqrt 3 t\\z = 5\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 t'\\y = 7 + t'\\z = 9\end{array} \right.\).

c) \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):4x + 2y - z + 9 = 0\) và \(\left( Q \right):x + y + 6z - 11 = 0\);

d) \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):{\rm{ }}x + y - z + 99 = 0\).

Lời giải chi tiết

a) \(\cos \alpha  = \cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{1.5 + 1.2 + \left( { - 1} \right).7}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {2^2} + {7^2}} }} = 0\).

Vậy \(\alpha  = {90^ \circ }\).

b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( { - \sqrt 3 ;1;0} \right)\).

Ta có: \(\cos \alpha  = \cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {1.\left( { - \sqrt 3 } \right) + \left( { - \sqrt 3 } \right).1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(\alpha  = {30^ \circ }\).

c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {4;2; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'}  = \left( {1;1;6} \right)\).

Ta có: \(\cos \alpha  = \cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.1 + 2.1 + \left( { - 1} \right).6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {6^2}} }} = 0\).

Vậy \(\alpha  = {90^ \circ }\).

d) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Ta có: \(\sin \alpha  = \sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).1 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0\).

Vậy \(\alpha  = {0^ \circ }\).