Giải bài 49 trang 69 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Đề bài

Cho biểu thức \(B = \frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}\) với \(x > 0\).

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị biểu thức B tại \(x = 3 - 2\sqrt 2 .\)

c) Tìm giá trị của \(x \in N*\) để B nguyên.

Lời giải chi tiết

a) Với \(x > 0\), ta có:

\(\begin{array}{l}B = \frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} \\= \frac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\ = \frac{{x - 2 - \sqrt x  - 2 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} \\= \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}\).

b) Thay \(x = 3 - 2\sqrt 2  = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2}\) (thỏa mãn điều kiện) vào B, ta được:

\(B = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  - 2}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}} }} \\= \frac{{\left| {\sqrt 2  - 1} \right| - 2}}{{\left| {\sqrt 2  - 1} \right|}} = \frac{{\sqrt 2  - 1 - 2}}{{\sqrt 2  - 1}} = \frac{{\sqrt 2  - 3}}{{\sqrt 2  - 1}} \\= \frac{{\left( {\sqrt 2  - 3} \right)\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}} =  - 1 - 2\sqrt 2 \)

Vậy \(B =  - 1 - 2\sqrt 2 \) với \(x = 3 - 2\sqrt 2 \).

c) \(B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }} = 1 - \frac{2}{{\sqrt x }}\)

Với \(x > 0\), để B nguyên thì \(\frac{2}{{\sqrt x }}\) nguyên, khi đó \(\sqrt x \) là ước của 2, mà \(\sqrt x  > 0\) nên \(\sqrt x  \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Với \(\sqrt x  = 1\) suy ra \(x = 1\); Với \(\sqrt x  = 2\) suy ra \(x = 4\)

Mà \(x \in N*\) và kết hợp với điều kiện xác định. Vậy \(x = 1\),\(x = 4\) là các giá trị cần tìm.