Giải bài 45 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Thống kê cho thấy tỉ lệ người mắc bệnh X trong dân cư là 20%. Bệnh X có liên quan đến triệu chứng S.

a) Theo bác sĩ M nếu một người mắc bệnh X thì khả năng người đó có triệu chứng S là 90% và nếu người đó không mắc bệnh X thì chỉ có 15% khả năng người đó có triệu chứng S mà thôi. Vậy theo bác sĩ M, nếu một người có triệu chứng S thì xác suất để người đó có bệnh X là bao nhiêu?

b) Theo bác sĩ N nếu một người mắc bệnh X thì khả năng người đó có triệu chứng S là 95% và nếu người đó không mắc bệnh X thì chỉ có 10% khả năng người đó có triệu chứng S mà thôi. Vậy theo bác sĩ N, nếu một người có triệu chứng S thì xác suất để người đó có bệnh X là bao nhiêu?

c) Theo bác sĩ P nếu một người mắc bệnh X thì khả năng người đó có triệu chứng S là 99% và nếu người đó không mắc bệnh X thì chỉ có 1% khả năng người đó có triệu chứng S mà thôi. Vậy theo bác sĩ P, nếu một người có triệu chứng P thì xác suất để người đó có bệnh X là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Gọi A là biến cố: “Người đó mắc bệnh X” và B là biến cố: “Người đó có triệu chứng S”.

Xác suất để một người có triệu trứng S mắc bệnh X là \(P\left( {A|B} \right)\). Ta cần tính \(P\left( {A|B} \right)\).

a) Theo đánh giá của bác sĩ M, nếu một người mắc bệnh X thì 90% khả năng người đó có triệu chứng S tức là \(P\left( {B|A} \right) = 0,9\); nếu người đó không mắc bệnh X thì xác suất người đó có triệu chứng là 15% tức là \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,15\). Theo công thức Bayes:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right)P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{0,2 \cdot 0,9}}{{0,2 \cdot 0,9 + 0,8 \cdot 0,15}} = \frac{{0,18}}{{0,3}} = 0,6\).

Vậy bác sĩ M kết luận: Nếu một người có triệu chứng S thì người đó mắc bệnh X với xác suất 0,6.

b) Theo đánh giá của bác sĩ N, nếu một người mắc bệnh X thì 95% khả năng người đó có triệu chứng S tức là \(P\left( {B|A} \right) = 0,95\); nếu người đó không mắc bệnh X thì xác suất người đó có triệu chứng là 10% tức là \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1\). Theo công thức Bayes:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right)P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{0,2 \cdot 0,95}}{{0,2 \cdot 0,95 + 0,8 \cdot 0,1}} = \frac{{0,19}}{{0,27}} \approx 0,704\).

Vậy bác sĩ N kết luận: Nếu một người có triệu chứng S thì người đó mắc bệnh X với xác suất 0,704.

c) Theo đánh giá của bác sĩ P, nếu một người mắc bệnh X thì 99% khả năng người đó có triệu chứng S tức là \(P\left( {B|A} \right) = 0,99\); nếu người đó không mắc bệnh X thì xác suất người đó có triệu chứng là 1% tức là \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,01\). Theo công thức Bayes:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right)P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{0,2 \cdot 0,99}}{{0,2 \cdot 0,99 + 0,8 \cdot 0,01}} = \frac{{0,198}}{{0,206}} \approx 0,961\).

Vậy bác sĩ P kết luận: Nếu một người có triệu chứng S thì người đó mắc bệnh X với xác suất 0,961.