Giải bài 43 trang 82 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Cho hai đường thẳng song song ∆₁: ax + by + c = 0 và ∆₂: ax + by + d = 0. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂  bằng \(\frac{{\left| {d - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(M\left( {{x_M};\frac{{ - c - a{x_M}}}{b}} \right)\) thuộc đường thẳng ∆₁

Do ∆₁ // ∆₂  nên \(d({\Delta _1},{\Delta _2}) = d(M,{\Delta _2})\)

Ta có: \(d(M,{\Delta _2}) = \frac{{\left| {a.{x_M} + b.\frac{{ - c - a{x_M}}}{b} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)\( = \frac{{\left| {a{x_M} - c - a{x_M} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {d - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Vậy \(d({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\left| {d - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) (ĐPCM)