Giải bài 43 trang 82 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Cho hai đường thẳng song song ∆₁: ax + by + c = 0 và ∆₂: ax + by + d = 0. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂  bằng $\frac{{\left| {d - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left( {{x_M};\frac{{ - c - a{x_M}}}{b}} \right)$ thuộc đường thẳng ∆₁

Do ∆₁ // ∆₂  nên $d({\Delta _1},{\Delta _2}) = d(M,{\Delta _2})$

Ta có: $d(M,{\Delta _2}) = \frac{{\left| {a.{x_M} + b.\frac{{ - c - a{x_M}}}{b} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$$= \frac{{\left| {a{x_M} - c - a{x_M} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {d - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Vậy $d({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\left| {d - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ (ĐPCM)