Giải bài 41 trang 82 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: 3x + y - 5 = 0 và ∆₂: x + 2y − 3 = 0

b) \({\Delta _3}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 t\\y =  - 1 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _4}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - \sqrt 3 t'\\y =  - t'\end{array} \right.\)

c) \({\Delta _5}: - \sqrt 3 x + 3y + 2 = 0\) và \({\Delta _6}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 - \sqrt 3 t\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) ∆₁: 3x + y - 5 = 0 và ∆₂: x + 2y − 3 = 0

∆₁ có VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}}  = (3;1)\); ∆₂ có VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}}  = (1;2)\)

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{3.1 + 1.2}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\)\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = {45^0}\)

Vậy \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {45^0}\)

b) \({\Delta _3}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 t\\y =  - 1 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _4}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - \sqrt 3 t'\\y =  - t'\end{array} \right.\)

∆₃ có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}}  = (\sqrt 3 ;3)\); ∆₄ có VTPT là \(\overrightarrow {{u_2}}  = ( - \sqrt 3 ; - 1)\)

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \frac{{\sqrt 3 .\left( { - \sqrt 3 } \right) + 3.( - 1)}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {{( - 1)}^2}} }}\)\( =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = {150^0}\)

Vậy \(\left( {{\Delta _3},{\Delta _4}} \right) = {180^0} - {150^0} = {30^0}\)

c) \({\Delta _5}: - \sqrt 3 x + 3y + 2 = 0\) và \({\Delta _6}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 - \sqrt 3 t\end{array} \right.\)

∆₅ có VTPT là \(\overrightarrow n  = ( - \sqrt 3 ;3)\) \( \Rightarrow {\Delta _5}\) có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_3}}  = (3;\sqrt 3 )\)

∆₆ có VTCP là \(\overrightarrow {{u_4}}  = (3; - \sqrt 3 )\)

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {{u_3}} ,\overrightarrow {{u_4}} } \right) = \frac{{3.3 + \sqrt 3 .\left( { - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} }}\)\( = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_3}} ,\overrightarrow {{u_4}} } \right) = {60^0}\)

Vậy \(\left( {{\Delta _5},{\Delta _6}} \right) = {60^0}\)