Giải bài 4.2 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm:

a) \(\int {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^4}}}} dx\);

b) \(\int {\sqrt x } \left( {7{x^2} + 6} \right)dx\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^4}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^4}}} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{4}{{{x^3}}} + \frac{4}{{{x^4}}}\).

Do đó \(\int {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^4}}}} dx = \int {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{4}{{{x^3}}} + \frac{4}{{{x^4}}}} \right)dx = } \int {\frac{1}{{{x^2}}}dx + } \int {\frac{4}{{{x^3}}}dx + } \int {\frac{4}{{{x^4}}}dx} \)

      \( = \frac{{ - 1}}{{{\rm{  }}x}} + 4 \cdot \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + 4 \cdot \frac{{{x^{ - 3}}}}{{ - 3}} + C\)\( = \frac{{ - 1}}{{{\rm{  }}x}} - \frac{2}{{{x^2}}} - \frac{4}{{3{x^3}}} + C.\)

b) Ta có \(\int {\sqrt x } \left( {7{x^2} + 6} \right)dx = \int {\left( {7{x^2}\sqrt x  + 6\sqrt x } \right)} {\rm{ }}dx\)\( = 7\int {{x^2}\sqrt x dx + 6\int {\sqrt x dx = 7\int {{x^{\frac{5}{2}}}dx + 6} } } \int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx\)

\( = 7 \cdot \frac{{{x^{\frac{7}{2}}}}}{{\left( {\frac{7}{2}} \right)}} + 6 \cdot \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}} + C = 2{x^3}\sqrt x  + 4x\sqrt x  + C = 2x\sqrt x \left( {{x^2} + 2} \right) + C.\)