Giải bài 4.7 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Tìm: a) (int {left( {x + {{sin }^2}frac{x}{2}} right)} dx); b) (int {{{left( {2tan x + cot x} right)}^2}} {rm{ }}dx).

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Quảng cáo

Đề bài

Tìm:

a) \(\int {\left( {x + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx\);

b) \(\int {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}} {\rm{ }}dx\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Sử dụng công thức hạ bậc cho \({\sin ^2}\frac{x}{2}\), áp dụng các công thức tính nguyên hàm cơ bản cho hàm lượng giác và các hàm còn lại.

Ý b: Khai triển, rút gọn biểu thức dưới dấu căn bằng các công thức lượng giác đã học đưa hàm số về dạng có thể áp dụng trực tiếp công thức nguyên hàm cơ bản.

Gợi ý: \({\tan ^2}x = 1 + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}};{\rm{ co}}{{\rm{t}}^2}x = 1 + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\int {\left( {x + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx = \int x dx + \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{{\sin x}}{2} + C = \frac{{{x^2} + x - \sin x}}{2} + C\).

b) Ta có \({\left( {2\tan x + \cot x} \right)^2} = 4{\tan ^2}x + 4 \cdot \tan x \cdot \cot x + {\cot ^2}x\)\( = 4 \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right) + 4 \cdot 1 + \left( {1 + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\)

\( = 9 + \frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).

Do đó\(\int {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}} dx = \int {\left( {9 + \frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\)

\( = 9\int {dx}  + 4\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx + \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = 9x + 4\tan x - \cot x + C\).

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close