Giải bài 4.3 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

a) (int {left( {3x + 4} right)sqrt[3]{x}} dx); b) (int {frac{{{{left( {2x + 3} right)}^2}}}{{sqrt x }}} dx).

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Quảng cáo

Đề bài

a) \(\int {\left( {3x + 4} \right)\sqrt[3]{x}} dx\);

b) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}} dx\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân để xuất hiện các đa thức dạng lũy thừa của \(x\).

Sau đó sử dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa.

Ý b: Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân để xuất hiện các đa thức dạng lũy thừa của \(x\).

Sau đó sử dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\left( {3x + 4} \right)\sqrt[3]{x} = 3x\sqrt[3]{x} + 4\sqrt[3]{x} = 3{x^{\frac{4}{3}}} + 4{x^{\frac{1}{3}}}\).

Do đó \(\int {\left( {3x + 4} \right)\sqrt[3]{x}} dx = \int {\left( {3{x^{\frac{4}{3}}} + 4{x^{\frac{1}{3}}}} \right)dx = } 3\int {{x^{\frac{4}{3}}}dx + } 4\int {{x^{\frac{1}{3}}}dx} \)

\( = 3\frac{{{x^{\frac{7}{3}}}}}{{\left( {\frac{7}{3}} \right)}} + 4\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}} + C = \frac{9}{7}{x^2}\sqrt[3]{x} + 3x\sqrt[3]{x} + C = \left( {\frac{9}{7}{x^2} + 3x} \right)\sqrt[3]{x} + C.\)

b) Ta có \(\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x }} = \frac{{4{x^2} + 12x + 9}}{{\sqrt x }} = 4x\sqrt x  + 12\sqrt x  + \frac{9}{{\sqrt x }} = 4{x^{\frac{3}{2}}} + 12{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{9}{{\sqrt x }}\).

Do đó \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}} dx = \int {\left( {4{x^{\frac{3}{2}}} + 12{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{9}{{\sqrt x }}} \right)dx = } 4\int {{x^{\frac{3}{2}}}dx + } 12\int {{x^{\frac{1}{2}}}dx}  + 9\int {\frac{1}{{\sqrt x }}dx} \)

\( = 4 \cdot \frac{{{x^{\frac{5}{2}}}}}{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}} + 12 \cdot \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}} + 9 \cdot 2\sqrt x  + C = \frac{8}{5}{x^2}\sqrt x  + 8x\sqrt x  + 18\sqrt x  + C = \left( {\frac{8}{5}{x^2} + 8x + 18} \right)\sqrt x  + C.\)

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close