Bài 4.12 trang 202 SBT giải tích 12

Đề bài

Cho $z = a + bi$. Chứng minh rằng:

a) ${z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2} = 2({a^2} - {b^2})$

b) ${z^2} - {\left( {\overline z } \right)^2} = 4abi$

c) ${z^2}{\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2}$

Lời giải chi tiết

Ta có: ${z^2} = {(a + bi)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi$

${(\overline  z)^2} = {(a - bi)^2} = {a^2} - {b^2} - 2abi$

a) ${z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}$ $= {a^2} - {b^2} + 2abi + {a^2} - {b^2} - 2abi$ $= 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)$.

b) ${z^2} - {\left( {\overline z } \right)^2}$$= {a^2} - {b^2} + 2abi - {a^2} + {b^2} + 2abi$$= 4abi$.

c) ${z^2}.{\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {z.\overline z } \right)^2}$ $= {\left[ {\left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right)} \right]^2}$ $= {\left( {{a^2} - {b^2}{i^2}} \right)^2} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2}$.

Loigiaihay.com