Giải bài 4.11 trang 12 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 1\) không âm trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\). Do đó tích phân \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \) là

diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0\) (trục \(Ox\)) và

\(x = 3\) như hình vẽ bên. Ta cần tính diện tích hình thang vuông có

đáy lớn là 7, đáy bé là 1 và chiều cao là 3.

Suy ra \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx}  = \frac{1}{2} \cdot \left( {1 + 7} \right) \cdot 3 = 12\).

b) Ta có \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \).

Ta có hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {16 - {x^2}} \) không âm trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\). Do đó tích phân \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \) là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0\) (trục \(Ox\)) và \(x = 4\) như hình vẽ bên.

Ta cần tính diện tích một phần tư đường tròn có bán kính là 4, tâm O nằm ở góc phần tư thứ I. Suy ra \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx}  = \frac{1}{4} \cdot \pi  \cdot {4^2} = 4\pi \).