Giải bài 4.14 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^2 {\left| {2x - 1} \right|dx} \);

b) \(\int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x - 1} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\int\limits_0^2 {\left| {2x - 1} \right|dx}  = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left| {2x - 1} \right|dx}  + \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left| {2x - 1} \right|dx}  = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {1 - 2x} \right)dx}  + \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2x - 1} \right)dx = \left. {\left( {x - {x^2}} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} + } \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2\)

\( = \frac{1}{2} - \frac{1}{{{2^2}}} + \left[ {{2^2} - 2 - \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{2}} \right)} \right] = \frac{5}{2}\).

b) Ta có \(\int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x - 1} \right|dx}  = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {x - 1} \right|dx}  + \int\limits_1^3 {\left| {x - 1} \right|dx}  = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 - x} \right)dx}  + \int\limits_1^3 {\left( {x - 1} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 2}^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^3 = \frac{{13}}{2}\).