Giải bài 4.13 trang 12 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}dx} \);

b) \(\int\limits_1^4 {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}dx} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {1 - 4x + 4{x^2}} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {dx}  - 4\int\limits_0^1 {xdx + 4\int\limits_0^1 {{x^2}dx} } \)

\( = \left. x \right|_0^1 - 4\left. { \cdot \frac{{{x^2}}}{2}x} \right|_0^1 + 4 \cdot \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 = 1 - 2\left( {1 - 0} \right) + \frac{4}{3}\left( {1 - 0} \right) = 1 - 2 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}\).

b) Ta có \(\int\limits_1^4 {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}dx}  = \int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x  - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)dx}  = \int\limits_1^4 {\sqrt x dx}  - 2\int\limits_1^4 {\frac{1}{{\sqrt x }}dx} \) \( = \left. {\frac{{x\sqrt x }}{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}}} \right|_1^4 - 2 \cdot 2\left. {\sqrt x } \right|_1^4\)

\( = \frac{2}{3}\left( {4\sqrt 4  - 1} \right) - 4\left( {\sqrt 4  - 1} \right) = \frac{{14}}{3} - 4 = \frac{2}{3}\).