Giải bài 4.1 trang 7 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm hàm số \(y = f\left( x \right)\), biết \(f'\left( x \right) = 3\sqrt x  + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}{\rm{ }}\left( {x > 0} \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\).

Lời giải chi tiết

Do \(f'\left( x \right) = 3\sqrt x  + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}{\rm{ }}\left( {x > 0} \right)\) nên \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(3\sqrt x  + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}\).

Ta có \(f\left( x \right)=\int{\left( 3\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt[3]{x}} \right)dx=3\int{\sqrt{x}dx+2\int{\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}=3\cdot \frac{x\sqrt{x}}{\left( \frac{3}{2} \right)}}}}+2\cdot \frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}{\left( \frac{2}{3} \right)}+C=2x\sqrt{x}+3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+C\).

Thay \(x = 1\) ta được \(f\left( 1 \right) = 2 + 3 + C = 1\) suy ra \(C =  - 4\).

Vậy hàm số cần tìm là \(f\left( x \right) = 2x\sqrt x  + 3\sqrt[3]{{{x^2}}} - 4\).