Giải bài 4 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Biết hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({(1 + 3x)^n}\) là 90. Tìm giá trị của n.

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

\({(1 + 3x)^n} = C_n^0 + C_n^1\left( {3x} \right) + ... + C_n^k{\left( {3x} \right)^k} + ... + C_n^n{\left( {3x} \right)^n}\)

Số hạng chứa \({x^2}\) ứng với \(k = 2\), tức là số hạng \(C_n^2{(3x)^2}\). Do đó hệ số là \(9.C_n^2\)

Do đó \(9.C_n^2 = 90 \Leftrightarrow C_n^{n - 2} = 10 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 10\)

 \( \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)}}{2} = 10 \Leftrightarrow {n^2} - n - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n =  - 4\;(L)\end{array} \right.\)

Vậy \(n = 5\) thì hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({(1 + 3x)^n}\) là 90.