Bài 3.61 trang 134 SBT hình học 12

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho $\overrightarrow {AC}  = (0;6;0)$. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{l} C\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \left( {x - 2;y;z} \right)\\ \overrightarrow {AC} = \left( {0,6,0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 2 = 0\\ y = 6\\ z = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 6\\ z = 0 \end{array} \right. \Rightarrow C\left( {2;6;0} \right) \end{array}$

I là trung điểm BC nên I(1; 3; 4)

$\overrightarrow {OA}  = \left( {2;0;0} \right)$

$OA$ đi qua O và nhận $\dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA}  = \left( {1;0;0} \right)$ làm VTCP

$\Rightarrow OA:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.$

Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OA ta có:

$\left( \alpha  \right) \bot OA \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA}  = \left( {1;0;0} \right)$

Phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ là: $x – 1 = 0$

Gọi K(t;0;0) là giao điểm của OA và $(\alpha )$. Tọa độ của K thỏa mãn t-1=0 hay t=1.

Do đó $K(1; 0; 0)$

Khoảng cách từ I đến OA là: $IK = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 3)}^2} + {{(0 - 4)}^2}}$ $= 5$

Cách khác:

Sau khi tìm được I(1;3;4) và phương trình đường thẳng OA, ta có thể tính khoảng cách ngay như sau:

$d\left( {I,OA} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {OA} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|}}$

Mà $\overrightarrow {OI}  = \left( {1;3;4} \right),\overrightarrow {OA}  = \left( {2;0;0} \right)$ nên $\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {0;8; - 6} \right)$

$\Rightarrow d\left( {I,OA} \right) = \dfrac{{\sqrt {0 + 64 + 36} }}{{\sqrt {4 + 0 + 0} }} = 5$.

Loigiaihay.com