Bài 3.6 trang 103 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overline {BC}$

b) $\overrightarrow {AB}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC}$

$\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}$

Do đó: $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}$ vì $\overrightarrow {DC}  =  - \overrightarrow {CD}$

b) Vì $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB}$ và $\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}$ nên $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB}$

Do đó: $2\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CD}  + 2\overrightarrow {DB}$

Vậy  $\overrightarrow {AB}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB}$

Loigiaihay.com