Bài 3.9 trang 104 SBT hình học 12

Đề bài

Trong không gian Oxyz cho một vecto $\overrightarrow a$ tùy ý khác vecto $\overrightarrow 0$. Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị $\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k$ trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto $\overrightarrow a$. Chứng minh rằng:  ${\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1$

Lời giải chi tiết

Gọi $\overrightarrow {{a_0}}$ là vecto đơn vị cùng hướng với vecto $\overrightarrow a$, ta có $\overrightarrow {{a_0}}  = \dfrac{1}{{|\overrightarrow a |}}\overrightarrow a$.

Gọi $\overrightarrow {O{A_0}}  = \overrightarrow {{a_0}}$ và các điểm A₁, A₂, A₃ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A₀ trên các trục Ox, Oy, Oz.

Khi đó ta có:  $\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_1}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \alpha ,\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_2}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}|} }} = \cos \beta ,\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_3}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \gamma$

Vì  $|\overrightarrow {O{A_0}} | = 1$ nên  $|\overrightarrow {O{A_1}} | = \cos \alpha ,|\overrightarrow {O{A_2}} | = \cos \beta ,|\overrightarrow {O{A_3}} | = \cos \gamma$

Ta có $\overrightarrow {O{A_0}}  = \overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + \overrightarrow {O{A_3}}$  , ta suy ra:  $\overrightarrow {O{A_0}}  = \cos \alpha \overrightarrow i  + \cos \beta \overrightarrow j  + \cos \gamma \overrightarrow k$ hay  $\overrightarrow {O{A_0}}  = (\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma )$.

Vì  $\overrightarrow {O{A_0}}  = \overrightarrow {{a_0}}$  mà $|\overrightarrow {{a_0}} | = 1$ nên ta có: ${\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1$

Loigiaihay.com