Bài 3.8 trang 103 SBT hình học 12

Đề bài

Trong không gian cho ba vecto tùy ý  $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$. Gọi  $\overrightarrow u  = \overrightarrow a  - 2\overrightarrow b ,$ $\overrightarrow v  = 3\overrightarrow b  - \overrightarrow c ,$ $\overrightarrow {\rm{w}}  = 2\overrightarrow c  - 3\overrightarrow a$.

Chứng tỏ rằng ba vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}}$ đồng phẳng.

Lời giải chi tiết

Giả sử có $\overrightarrow {\rm{w}}  = p\overrightarrow u  + q\overrightarrow v$

$2\overrightarrow c  - 3\overrightarrow a  = p(\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b ) + q(3\overrightarrow b  - \overrightarrow c )$

$\Leftrightarrow  (3 + p)\overrightarrow a  + (3q - 2p)\overrightarrow b  - (q + 2)\overrightarrow c  = \overrightarrow 0$(1)

Vì ba vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ lấy tùy ý  nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 + p = 0}\\{3q - 2p = 0}\\{q + 2 = 0}\end{array}} \right.$ $\Rightarrow   \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{p =  - 3}\\{q =  - 2}\end{array}} \right.$

Như vậy ta có: $\overrightarrow {\rm{w}}  =  - 3\overrightarrow u  - 2\overrightarrow v$  nên ba vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}}$ đồng phẳng.

Loigiaihay.com